Division de (n² + 1) par (n + 2) - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ .

1. Déterminer, en fonction de $n$ , le reste dans la division euclidienne de $n^2+1$ par $n+2$ .

2. En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $n+2$ divise $n^2+1$ .

Solution

1. On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $n^2+1$ par $n+2$ .

On remarque que : $n^2+1=(n+2)(n-2)+5$ .
Or \(5 \geqslant 0 \text{ et } 53\) .
Ainsi, $r=5⟺n>3$ .

Il reste à traiter les cas $n=0$ , $n=1$ , $n=2$ et $n=3$ :

• si $n=0$ , on a  $n^2+1=1$ et $n+2=2$ ;
  et on a $1=2\times 0+1$ donc $r=1$ ;
• si $n=1$ , on a  $n^2+1=2$ et $n+2=3$ ;
  et on a $2=3\times 0+2$ donc $r=2$ ;
• si $n=2$ , on a  $n^2+1=5$ et $n+2=4$ ;
  et on a $5=4\times 1+1$ donc $r=1$ ;
• si $n=3$ , on a $n^2+1=10$ et $n+2=5$ ;
  et on a $10=5\times 2+0$ donc $r=0$ .

En résumé, concernant la division euclidienne de $n^2+1$ par $n+2$ :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccccc|}\hline n& 0& 1& 2& 3& ⩾4\\ \text{Quotient}& 0& 0& 1& 2& n-2\\ \text{Reste}& 1& 2& 1& 0& 5\\ \hline\end{array}\end{array}$   

2. Dire que $n+2$ divise $n^2+1$ signifie que le reste dans la division euclidienne de $n^2+1$ par $n+2$ vaut $0$ . Par conséquent, $n+2$ divise $n^2+1$ si, et seulement si, $n=3$ .