Division de (n² + 1) par (n + 2) - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

1. Déterminer, en fonction de \(n\) , le reste dans la division euclidienne de \(n^2+1\) par \(n+2\) .

2. En déduire les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(n+2\) divise \(n^2+1\) .

Solution

1. On note \(r\) le reste dans la division euclidienne de \(n^2+1\) par \(n+2\) .

On remarque que : \(n^2+1=(n+2)(n-2)+5\) .
Or \(5 \geqslant 0 \text{ et } 53\) .
Ainsi, \(r=5 \ \Longleftrightarrow \ n>3\) .

Il reste à traiter les cas \(n=0\) , \(n=1\) , \(n=2\) et \(n=3\) :

• si \(n=0\) , on a  \(n^2+1=1\) et \(n+2=2\) ;
  et on a \(1=2 \times 0+1\) donc \(r=1\) ;
• si \(n=1\) , on a  \(n^2+1=2\) et \(n+2=3\) ;
  et on a \(2=3 \times 0+2\) donc \(r=2\) ;
• si \(n=2\) , on a  \(n^2+1=5\) et \(n+2=4\) ;
  et on a \(5=4 \times 1+1\) donc \(r=1\) ;
• si \(n=3\) , on a \(n^2+1=10\) et \(n+2=5\) ;
  et on a \(10=5 \times 2+0\) donc \(r=0\) .

En résumé, concernant la division euclidienne de \(n^2+1\) par \(n+2\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline n& 0& 1& 2& 3& \geqslant 4\\ \hline\text{Quotient}& 0& 0& 1& 2& n-2\\ \hline\text{Reste}& 1& 2& 1& 0& 5\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

2. Dire que \(n+2\) divise \(n^2+1\) signifie que le reste dans la division euclidienne de \(n^2+1\) par \(n+2\) vaut \(0\) . Par conséquent, \(n+2\) divise \(n^2+1\) si, et seulement si, \(n=3\) .